根據銀行的規定小額的欠款在持卡人死亡之后，會終止你的賬戶。小額欠款一般情況下銀行不再追究。
在欠款金額較大（不同銀行以及其申辦行對這個金額的判斷都不相同），銀行選擇追究的情況下：
1、債務人死亡的情況下，銀行可以起訴債務人的法定繼承人和擔保人（如果有擔保人的情況下）。
2、債務人的法定繼承人在遺產繼承的份額范圍內承擔償還責任，擔保人在擔保的范圍內承擔償還責任。
3、如果債務的金額超出了遺產的價值，繼承人沒有義務償還，但如果愿意償還的話，法院也會支持。
4、法律依據：《繼承法》第三十三條　【繼承遺產與清償債務】繼承遺產應當清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務，繳納稅款和清償債務以他的遺產實際價值為限。
超過遺產實際價值部分，繼承人自愿償還的不在此限。繼承人放棄繼承的，對被繼承人依法應當繳納的稅款和債務可以不負償還責任。
拓展資料：
信用卡又叫貸記卡，是由商業銀行或信用卡公司對信用合格的消費者發行的信用證明。其形式是一張正面印有發卡銀行名稱、有效期、號碼、持卡人姓名等內容，背面有磁條、簽名條的卡片。持有信用卡的消費者可以到特約商業服務部門購物或消費，再由銀行同商戶和持卡人進行結算，持卡人可以在規定額度內透支。
我國有關法律(《全國人民代表大會常務委員會關于有關信用卡規定的解釋》)規定的信用卡，是指由商業銀行或者其他金融機構發行的具有消費支付、信用貸款、轉賬結算、存取現金等全部功能或者部分功能的電子支付卡 。2017年12月1日，《公共服務領域英文譯寫規范》正式實施，規定信用卡標準英文名為Credit Card 。
信用卡消費是一種非現金交易付款的方式，消費時無須支付現金，待賬單日(Billing Date)時再進行還款。
信用卡分為貸記卡和準貸記卡，貸記卡是指持卡人擁有一定的信用額度、可在信用額度內先消費后還款的信用卡;準貸記卡是指持卡人按要求交存一定金額的備用金，當備用金賬戶余額不足支付時，可在規定的信用額度內透支的準貸記卡。所說的信用卡，一般單指貸記卡。
2021年1月1日起，信用卡透支利率由發卡機構與持卡人自主協商確定，取消信用卡透支利率上限和下限管理(原上限為日利率萬分之五、下限為日利率萬分之五的0.7倍)。
2021年5月25日，最高人民法院發布實施了《最高人民法院關于審理銀行卡民事糾紛案件若干問題的規定》。
信用卡是一種非現金交易付款的方式，是簡單的信貸服務。信用卡一般是長85.60毫米、寬53.98毫米、厚1毫米的塑料卡片，由銀行或信用卡公司依照用戶的信用度與財力發給持卡人，持卡人持信用卡消費時無須支付現金，待結賬日時再行還款。
除部分與金融卡結合的信用卡外，一般的信用卡與借記卡、提款卡不同，信用卡不會由用戶的賬戶直接扣除資金。
信用卡是商業銀行向個人和單位發行的，憑此向特約單位購物、消費和向銀行存取現金，具有消費信用的特制載體卡片，其形式是一張正面印有發卡銀行名稱、有效期、號碼、持卡人姓名等內容，背面有磁條、簽名條的卡片。
真正的信用卡，具有以下特點：不鼓勵預存現金，先消費后還款，享有免息繳款期，可自主分期還款（有最低還款額），加入VISA，MASTER等國際信用卡組織以便全球通用。

借款人死亡可找繼承人要求還款，繼承人不還就向法院起訴。
債務人死亡，上策是找債務人的繼承人要求還款，如果不能還款可以起訴債務人的法定繼承人要求清償債務，繼承人應當在繼承遺產之前，要在遺產范圍內清償被繼承人的債務。如果遺產分割完畢，則應當在他們繼承遺產的范圍內按比例清償債務。
《繼承法》第三十三條規定：繼承遺產應當清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務，繳納稅款和清償債務以他的遺產實際價值為限。超過遺產實際價值部分，繼承人自愿償還的不在此限。繼承人放棄繼承的，對被繼承人依法應當繳納的稅款和債務可以不負償還責任。
《最高人民法院關于貫徹執行若干問題的意見》第62條規定：遺產已被分割而未清償債務時，如有法定繼承又有遺囑繼承和遺贈的，首先由法定繼承人用其所得遺產清償債務；不足清償時，剩余的債務由遺囑繼承人和受遺贈人按比例用所得遺產償還；如果只有遺囑繼承和遺贈的，由遺囑繼承人和受遺贈人按比例用所得遺產償還。

債務人死亡起訴繼承人的案由是被繼承人債務清償糾紛，如債務人死亡，欠款尚未還清的，債權人可以將遺產繼承人起訴，要求繼承人在遺產范圍內清償。如欠債是夫妻共同債務，債務人死亡配偶要承擔清償的義務。
繼承人起訴債務人的方式為：
向法院提交起訴狀和相關的證據。民事訴訟滿足以下條件即可起訴：原告是與本案有直接利害關系的公民、法人和其他組織；有明確的被告；有具體的訴訟請求和事實、理由；屬于人民法院受理民事訴訟的范圍和受訴人民法院管轄。
債務糾紛起訴流程如下：
1、原告向人民法院遞交起訴狀、副本及相關的證據；
2、人民法院接受原告提交的文件、材料，并進行審查，符合條件的予以立案；
3、法院將原告的起訴書副本送達被告；
4、被告作出書面答辯；
5、開庭審理；
6、法院做出判決。
法律依據：
《中華人民共和國民法典》
第一千一百六十一條
繼承人以所得遺產實際價值為限清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務。超過遺產實際價值部分，繼承人自愿償還的不在此限。繼承人放棄繼承的，對被繼承人依法應當繳納的稅款和債務可以不負清償責任。