假設向量組1的極大無關組為α1、α2、...αm，向量組2的極大無關組為β1、β2、...βn，又因為向量組1可由向量組2線性表出，則α1、α2、...、αm，可由β1、β2、...、βn，線性表出，假設m＞n，

根據定理 向量組A（s個向量）可由向量組B（t個向量）線性表出，且s＞t，則向量組A線性相關。則α1、α2、...、αm，線性相關，矛盾，最終可得m＜＝n，即向量組1的秩小于等于向量組2的秩。

向量組的秩為線性代數的基本概念，它表示的是一個向量組的極大線性無關組所含向量的個數。由向量組的秩可以引出矩陣的秩的定義。

一個向量組的極大線性無關組所包含的向量的個數，稱為向量組的秩；若向量組的向量都是0向量，則規定其秩為0.向量組α1，α2，···，αs的秩記為R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

擴展資料：

有向量組的秩的概念可以引出矩陣的秩的概念。一個m行n列的矩陣可以看做是m個行向量構成的行向量組，也可看做n個列向量構成的列向量組。

行向量組的秩成為行秩，列向量組的秩成為列秩，容易證明行秩等于列秩，所以就可成為矩陣的秩。矩陣的秩在線性代數中有著很大的應用，可以用于判斷逆矩陣和線性方程組解的計算等方面。

向量組的任意兩個極大無關組等價。兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。

等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。如果向量組A可由向量組B線性表示，且R（A）=R（B），則A與B等價。

參考資料來源：百度百科——向量組的秩