5已知，兩向量組有相同的秩，并且其中之一可以由另一組線性表出，試證明：這兩個向量組等價
證: 設n維向量組a1,a2,...,as可由向量組b1,b2,...,bt線性表示, 且
r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,bt).
由 向量組a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt線性表示
得 r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt) = r(b1,b2,...,bt)
而 r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,bt),
所以 r(a1,a2,...,as) = r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
所以 a1,a2,...,as 的極大無關組就是 a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt 的極大無關組
所以 a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt 可由 a1,a2,...,as 線性表示
所以 b1,b2,...,bt 可由 a1,a2,...,as 線性表示
所以兩個向量組等價.
一個向量組可以由另一個向量組線性表出是什么意思？
一個向量組可以由另一個向量組線性表出是什么意思？是說向量組A里的每一個向量都可以由向量組B線性表出的意思嗎？線性組合是線性代數的基本概念之一，設α₁，α₂，…，αₑ(e≥1)是域P上線性空間V中的有限個向量。
若V中向量α可以表示為α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₐ∈P，a=1，2，…，e)，則稱α是向量組α₁，α₂，…，αₑ的一個線性組合，亦稱α可由向量組α₁，α₂，…，αₑ線性表示或線性表出。
若干個同維數的行向量(或同維數的列向量)所組成的集合叫做向量組。
擴展資料
兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。
1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣，線性相關性也可以不一樣。
2、任一向量組和它的極大無關組等價。
3、向量組的任意兩個極大無關組等價。
4、兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。
5、等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。
6、如果向量組A可由向量組B線性表示，且R（A）=R（B），則A與B等價。
參考資料來源：百度百科-線性表出
就是向量組A里的每一個向量都可以由向量組B線性表出
如果是向量組等價，那就是兩個向量組，可以相互線性表示
因為，在向量組b中，極大線性無關組之外的向量，都可以由向量組b的極大線性無關向量表出。
其實，向量組b的極大線性無關向量就代表了向量組b。其它的跟極大線性無關向量重復，只不過是多乘以幾個常數，寫成其它形式罷了。
是的
設兩個向量組有相同的秩，且其中一個可被另外一個線性表出，證明這兩個向量組等價
可以用利用線性無關的定義來證。
這里有一種較取巧的證法：
設向量組A與向量組B有相同的秩為r，A可由B線性表出，則A 有極大線性無關組（a1,a2,...,ar) B
有極大線性無關組(b1,b2,...,br)
將之放到一起組成向量組C（a1,a2,...,ar,b1,b2,...,br) ,則由于b1,b2,....,br 可線性表出a1,a2,...,ar 中的任意一個，所以由極大線性無關組的定義，b1,b2,...,br是C中的極大線性無關組，于是C的秩為r，但同時a1,a2,...,ar也是線性無關的，因此也是C的極大線性無關組，這樣 a1,a2,...,ar 就與b1,b2,...,br等價，因此A與B就等價（因為向量組都與自身的極大線性無關組等價）
怎么證明一個向量組可由另一個向量組線性表示
向量組B=(β1，β2，……，βm)能由向量組A=(α1，α2，……，αm)線性表示的充要條件是矩陣A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩陣(α1，α2，……，αm，B)的秩。
向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。
一個向量可由向量組中其余向量線性表示，前提是這個向量組線性相關。線性相關的向量組中并不是任一向量都可由其余向量線性表示；但當其余向量線性無關時，這個向量必可由其余向量線性表示。
擴展資料：
線性表示的性質：
1、向量組α1，α2，……，αm中每個向量都可由向量組本身線性表示。
2、任一n維向量α=（α1，α2，……，αm）都可由n維單位向量組線性表示。
3、設α1，α2，……，αm線性無關，而α1，α2，……，αm，ß線性相關，則β可由α1，α2，……，αm線性表示，且表示是唯一的。
假如有A,B兩個向量組，把向量組B加到向量組A里之后變成增廣矩陣AB，秩不變，也就是，R(A)=R(AB),那么B可由A線性表示，如果把B加到A成AB之后，秩增大，也就是R(A)<R(AB),那么B就不能由A線性表示
你好！不對。一組向量線性相關的充分必要條件是至少有一個向量組可由其它向量線性表示。但不是任意一個。例如(1,0),(2,0),(0,1)線性相關，但(0,1)不能由(1,0),(2,0)線性表示。經濟數學團隊幫你解答，請及時采納。謝謝！
一個向量組可由另一個向量組線性表示是:指前一個向量組中每個向量都能由后一個向量組表示.
而且具有傳遞性,所以
向量組1可由向量組2線性表示,2可由3表示,那么1可由3表示.。。。。。說白了就是前面的那個向量組線性相關，，，rank（第一個向量組)<n,,,,,,
向量組B能被向量組A線性表示的充要條件：R（A）=R（A B）
向量組B和向量組A等價的充要條件：R（A）=R（A B）=R（B）
已知兩個向量組有相同的秩，且其中一組可由另一組線性表出。證明這兩個向量組等價。
證:
設n維向量組a1,a2,...,as可由向量組b1,b2,...,bt線性表示,
且
r(a1,a2,...,as)
=
r(b1,b2,...,bt).
由
向量組a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt線性表示
得
r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
=
r(b1,b2,...,bt)
而
r(a1,a2,...,as)
=
r(b1,b2,...,bt),
所以
r(a1,a2,...,as)
=
r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
所以
a1,a2,...,as
的極大無關組就是
a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt
的極大無關組
所以
a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt
可由
a1,a2,...,as
線性表示
所以
b1,b2,...,bt
可由
a1,a2,...,as
線性表示
所以兩個向量組等價.
設兩個向量組為ab
∵a可以由b線性表出，∴R（a,b）＝R(b)
又∵R(a)=R(b)，∴R(a)=R(b)=R(a,b)
∴a與b等價
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