線性代數問題（關于向量組的秩）
在證明“若向量組（I)可由向量組(II)線性表出，則向量組(I)的秩不超過向量組(II)的秩”時，為什么由“若向量組（I)可由向量組(II)線性表出”得出“向量組(I)的極大線性無關組可以由向量組(II)的極大線性無關組線性表示“？不是要說向量組(I)與向量組(II)等價才行嗎？由《向量組（I)可由向量組(II)線性表出》推出《向量組(I)的極大線性無關組可以由向量組(II)的極大線性無關組線性表示》是容易理解的。因向量組的核心是它的極大線性無關組，極大線性無關組類同于笛卡爾坐標【只要將極大線性無關組重整垂直并單位化即可】，向量組（I)可由向量組(II)線性表出，能說明（I)是(II)的子空間，（I)的坐標是(II)的坐標的一部分。
向量組(I)與向量組(II)等價，我不知道有沒有等價這個概念，要有的化我的理解是向量組(I)與向量組(II)能互相線性表示，但很明顯(II)比（I)大，即(II)不一定可由（I)表示。
向量組1和向量組2相互表出時才等價。向量組1的一個極大線性無關組屬于這個向量組中，既然這個組（1）可以由向量組2表出，那么屬于向量組1內的任意組元都可由向量組2表出，也就是說向量組1的極大無關組可有向量組2表出，而向量組2的一個極大無關組可以表出向量組2的每個組元也就可以表出向量組1的線性無關組了
證明:如果向量組1可由向量組2線性表出，那么向量組1的秩不超過向量組2的秩。
假設向量組1的極大無關組為α1、α2、...αm，向量組2的極大無關組為β1、β2、...βn，又因為向量組1可由向量組2線性表出，則α1、α2、...、αm，可由β1、β2、...、βn線性表出，設m＞n。
根據向量組A（s個向量）可由向量組B（t個向量）線性表出，且s＞t，則向量組A線性相關。則α1、α2、...、αm線性相關，與題設矛盾，故可得m＜＝n，即向量組1的秩小于等于向量組2的秩。
其中，線性表出：設α₁，α₂，…，αₑ(e≥1)是域P上線性空間V中的有限個向量，若V中向量α可以表示為α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₐ∈P，a=1，2，…，e)，則稱α是向量組α₁，α₂，…，αₑ的一個線性組合，亦稱α可由向量組α₁，α₂，…，αₑ線性表示或線性表出。
擴展資料：
線性表出向量組的相關性質：
1、如果兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。
2、等價向量組具有傳逆性、對稱性、反身性；
3、向量組和它的極大線性無關組是等價向量組；
證明:如果向量組1可由向量組2線性表出，那么向量組1的秩不超過向量組2的秩。
假設向量組1的極大無關組為α1、α2、...αm，向量組2的極大無關組為β1、β2、...βn，又因為向量組1可由向量組2線性表出，則α1、α2、...、αm，可由β1、β2、...、βn，線性表出，假設m＞n，
根據定理
向量組A（s個向量）可由向量組B（t個向量）線性表出，且s＞t，則向量組A線性相關。則α1、α2、...、αm，線性相關，矛盾，最終可得m＜＝n，即向量組1的秩小于等于向量組2的秩。
有向量組的秩的概念可以引出矩陣的秩的概念。一個m行n列的矩陣可以看做是m個行向量構成的行向量組，也可看做n個列向量構成的列向量組。行向量組的秩成為行秩，列向量組的秩成為列秩，容易證明行秩等于列秩，所以就可成為矩陣的秩。矩陣的秩在線性代數中有著很大的應用，可以用于判斷逆矩陣和線性方程組解的計算等方面。
擴展資料
根據向量組的秩可以推出一些線性代數中比較有用的定理
向量組α1，α2，···，αs線性無關等價于R{α1，α2，···，αs}=s。
若向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則R{α1，α2，···，αs}小于等于R{β1，β2，···，βt}。
等價的向量組具有相等的秩。
若向量組α1，α2，···，αs線性無關，且可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則s小于等于t。
向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，且s>t，則α1，α2，···，αs線性相關。
任意n+1個n維向量線性相關。
把向量組1和向量組2合并成向量組3
根據已知條件，向量組2的最大無關組，可以表示向量組3的所有向量。
所以該無關組，也是向量組3的最大無關組。
即向量組3中，不可找出更多個數的無關組，當然1中也找不到了。
所以得證。
設(a1,a2,...,am)是a向量組中的一個極大線性無關組構成的矩陣a'
設(b1,b2,...,bn)是b向量組中的一個極大線性無關組構成的矩陣b'
由a可以由b表述，說明存在矩陣c，滿足a=bc
根據r(bc)<=r(b)得證
如果向量組（1）可由向量組（2）表出,證明（1）的秩不超過（2）的秩.
設長度為n的向量a1..ar 向量組(1) ；最大無關組 a1...at
長度為n的向量b1..bs 向量組(2)； 最大無關組 b1...bu
將 a1..ar豎著排列組成矩陣A
同理得B
rank(A)=t rank(B)=u
向量組（1）可由向量組（2）表出
則 A=KB K為r*u矩陣
有矩陣相乘的秩的關系可知
rank(A)
相關推薦：
專利轉讓稅收怎么算(技術轉讓所得繳稅)
失信被執行人名單查(被法院列入失信被執行人名單后影響)
虐待兒童怎么處理(虐童觸犯了哪些法律)
兒童意外險是什么(意外險如何買 小孩子要買嗎)
哺乳期上班時間規定(勞動法哺乳期上班時間)