n=2時，1+1/√2，成立
設，1+1/√2+…+1/√n<2√n
則有：
1+1/√2+…+1/√n+1/√(n+1)<(2√n)+(1/√(n+1))
而
(2√n)+(1/√(n+1))
=((2√n)*√(n+1)+1)/√(n+1)
=(2√(n(n+1))+1)/√(n+1)
=(2√(n(n+1))-1+2)/√(n+1)
<(2n+2)/√(n+1)

最后一步要單獨比較
2√(n(n+1))-1<2n
而這是簡單的

所以綜上n>=2時，
原題得證

令n=k時，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√回k<2√k；
當n=k+1時，上式左邊答=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右邊=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
則上式右邊=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。

設f(n)=2(√(n+1)-1)
g(n)= 1+1/√2+1/√3+....+1/√n
h(n)= 2√n

a=f(n)- f(n-1)=2(√(n+1)-√n)=2/(√(n+1)+√n)
b=g(n)-g(n-1)=1/√n=2/(2√n)
通過a b的比較，版可知a<b
f(1)=2√2-2
g(1)=1 所以，f(1) <g(1)
通過a<b知道f(n)增長權的比g(n)要慢
所以，f(n)< g(n)

同理，c= h(n)- h(n-1)=2(√n-√(n-1))=2/(√n+√(n-1))
通過c b的比較，可知c>b
h(1)=2 所以，h(1)>g(1)
所以，h(n)>g(n)

綜上所述 2(√n+1-1)<1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2√n

設k=n時原制不等式成立,則k=n+1時,左=1+1/根號2^3+1/根號3^3+....+1/根號n^3+1/根號(n+1)^3
≤3-2/根號n+1/根號(n+1)^3
下證-2/根號n+1/根號(n+1)^3≤-2/根號(n+1)
而根號(n+1)+根號n≤2根號(n+1)
根號n≤根號(n+1)
根號(n+1)≤根號(n+1)
3個式子相乘有
[根號(n+1)+根號n]根號n(n+1)≤2根號(n+1)^3
所以2/[根號(n+1)+根號n]根號n(n+1)≥2/2根號(n+1)^3

不用數學歸納法也可證明。
只須利用不等式
1√n＜2(√n-√(n-1))

因為1>1/√2>1/√3>…>1/√n
所以
1+1/√2+1/√3+…+1/√n >n*(1/√n)=√n

n=2時，1+1/根2-根2 = (根2+1-2)/根2 > 0，所以1+1/根2 > 根2，上式成立

假設n=k時上式成立，即1+1/根號2+1/根號3+~~~~~~~+1/根號k > 根號k
當n=k+1時，
左 = 1+1/根號2+1/根號3+~~~~~~~+1/根號(k+1)
> 根號k + 1/根號(k+1) （依據上面假設）
= (根號(k(k+1))+1)/根號(k+1)
= 根號（(k^2+k+1+2*根號(k(k+1)))/(k+1)） （就是把整個式子挪到根號里面）
> 根號（(k^2+k+1+k)/(k+1)） （將2*根號(k(k+1))縮小為k）
= 根號（k+1）
所以上式仍成立
由歸納法知，對任意n>=2，上式成立

首先 1/根號k=2(1/2根號k)<2(1/(根號k+根號k-1))=2(根號k-根號k-1)

則1＋1/根號2＋1/根號3····＋1/根號n<1+2(根號2-1＋根號3-根號2····＋根號n-根號n-1)=2根號n＜2根號n .證畢#

有問題啊，n=2，3都不成立

因為n為整數抄，且n>1，所以當 m 為整數，且 m < n 時，
有 根號m < 根號n ，即 1/根號m > 1/根號n，因此：
1+1/根號2+1/根號3+…+1/根號n > 1/根號n + 1/根號n + 1/根號n +...+ 1/根號n = n*1/根號n = 根號n

前面的式子大于等于1／根號n+1／根號n+1／根號n+... ...+1／根號n（一共n個）=(1+...+1)／根號n=n／根號n=根號N 當且僅當N=1時等號成立 所以原題得證

先證不等式--根號k大于k/根號k+1（k大于0），只要平方移項即可證明
回到原式，應用上面不等式，則1大于1/根號2，加上1/根號2為根號2，根號2大于2/根號3，加上1/根號3為根號3...以此類推即得證。

sqrt(1)=1
sqrt(k)-sqrt(k-1)<=1/sqrt(k)，
k從2取到n，
累加即得

∵1/√n>2/[√內n+√(n+1)]=2[√(n+1)-√n)
∴左邊>2(√2-√1)+2(√3-√2)+....+2[√(n+1)-√n]
=2[√(n+1)-1]
=2n/[√(n+1)+1]
>2n/(√n+√n) [n>2時容 2√n>√(n+1)+1]
=√n