用數學歸納法證明
顯然所證不等式只在n>=2時才成立

當n=2時，由√回2>1 ==〉√2+1>2 ==〉1+1/√2>√2，所證不等式成立答

假設當n=k時（k>=2）所證不等式也成立，即有：
1+1/√2+ … +1/√k>√k

則當n=k+1時：
1+1/√2+ … +[1√(k+1)]
=(1+1/√2+ … +1/√k)+[1/√(k+1)]
>√k+[1/√(k+1)]
={√[k(k+1)]+1}/√(k+1)
=[√(k^2+k)+1]/√(k+1)
>[√(k^2)+1]/√(k+1)
=(k+1)/√(k+1)
=√(k+1)

即由n=k時不等式成立可證得n=k+1時不等式也成立
由數學歸納法，所證不等式成立：
1+1/√2+ … +1/√n>√n （n>=2）

解答：設一個新數列
An=1＋1/根號2＋1/根號3····＋1/根號n-根號n,則
A(n+1)-An=1/根號(n+1)+根號n-根號(n+1)=根號n[1-根號n/根號(n+1)]>0,
所以專A(n+1)＞An，這說明屬數列{An}單調遞增，所以對任意正整數n，有An>=A1,而A1＝1-根1＝0，
所以An>=0,即
1＋1/根號2＋1/根號3····＋1/根號n>=根號n.
當n＞1時，1＋1/根號2＋1/根號3····＋1/根號n>根號n.

利用數學歸納方證明
原理：n=k成立，如果n=k+1也成立，則命題得證。

n = 2時，
左端內 = 1 + 1/√2 ≈容 1.707
右端 = √2 ≈ 1.414
左端 > 右端
命題成立

因此可以設 n = k 時，命題成立
1 + 1/√2 + 1/√3 + …… + 1/√k > √k

n = k+1 時
左端 = 1 + 1/√2 + 1/√3 + …… + 1/√k + 1/√(k+1)
> √k + 1/√(k+1)
= {√[k*(k+1)] + 1}/√(k+1)
> {√[k*k] + 1}/√(k+1)
= (k+1)/√(k+1)
= √(k+1)
右端 = √k+1

即 如果 n=k 命題成立，那么 n = k+1 時 命題也成立。
因此 原命題對于任意 n>1 成立。

=============
附錄：
n=2 時成立，這時 相當于 k=2。n=k+1時成立，即 n=3時成立。
n=3 時成立，這時 相當于 k=3。n=k+1時成立，即 n=4時成立。
n=4 時成立，這時 相當于 k=4。n=k+1時成立，即 n=5時成立。
余此類推。
此即數學歸納的根據。

∵√n = √n
√n > √n+1 > √n+2 >…>√2 >√1
√n > √n+1 <1>
√n > √n+2 <2>
.
.
.
√n > √2 <n-1>
√n > √1 <n>
∴√n *n > √n + √n+1 + √n+2 +…+√2 +√1
這道題與問題內類似,由于分之一不好打,請諒容解.

用數學歸納法```先證當N=1時等式成立
然后即假設1＋1/根號2＋1/根號3··專··＋1/根號n>根號n 成立屬
再證N=N+1時兩邊成立
1＋1/根號2＋1/根號3····＋1/根號n+1/根號n+1>根號n + 1/根號n+1

老師的提示都這么明顯了啊，再來一步就可以了。
把2/根號k+根號(k-1)分母有理化，就回得到1/根號k<2[-根號（k-1）答+根號k]，然后原式左邊就小于2（0+1-1+根號2-根號2+根號3……-根號（n-1)+根號n=2根號n，得證。
記住老師給你的式子，是比較常用的放縮方法，還有下次不要再發到物理里來了，雖然我也很樂意回答，哈哈。

這不是廢話嗎,本來就成立呀!

放縮方法:1/√k=2/2√k=2/(√k+√k)<2/[√k+√(k-1)]=2[√k-√(k-1)]∴1/√1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2[√1-√0]+2[√2-√1]+2[√3-√2]+...+2[√n-√(n-1)]=2[√1-√0+√2-√1+√3-√2+...+√n-√(n-1)]=2(√n-√0)=2√n