你做錯了，因為你進行了重復計算。
先分成4組，然后這4組再進行排列的思路是正確的。
分成4組只有c（5,2）種分法，也就是說取出兩個是一組，剩下三個自然是一個一組。你的錯誤在于把分組進行排列了，這里之分不排。一共有C（5,2）=10種分法。
比如（1，2），3,4,5和（1,2）4,3,5是一樣的分法，而按照你的計算就是不一樣的。所以你算多了。
然后對以上分出的4組進行排列，每種分法分出的4組有P（4,4）種排法。
所以最終的結果是C（5,2）P（4,4）=240

前面分成2人、1人、1人、1人四個小組是對的，但是后面C(5,2)*C(3,1)*C(2,1)=60出錯了！你這么計算和后面的“再考慮分配到4個不同小組，則有P（4，4）＝24種”有重復。可以這樣思考：前面把5個人分成4各小組，共有C（5,2）=10種方法，然后把這四組分到不同科技小組有A（4,4）=24種方法。這樣再根據分步原則做乘法既得答案，240種。
你的思路很好，只是在分步過程中把第一步和第二步沒有分清，使得兩步之間有重疊。再認真思考一下就好了！有問題的話可以繼續討論。

你的第一步，將學生分成2人、1人、1人、1人四個小組的數目算錯了。應該就是C(5,2)=10種。至于為什么，自己好好想想。

圖形在哪兒？問問題是不是也要有點誠意～～～？

這道題的意思是,任兩個舞蹈節目或任兩個小品節目不能相連.
所以可以用插空法,先排好唱歌節目:A(4,4)
這時候把小品插進去,共有5個位置插兩個小品:A(5,2)
然后再把舞蹈節目插進去,現在排好6個節目共有7個空:A(7,4)
所以排法為:A(4,4)*A(5,2)*A(7,4)=403200

排列組合 熱★★★ 【字體：小 大】

排列組合

作者：佚名文章來源：本站原創點擊數：更新時間：2004-3-19
[重點和難點分析]

一、排列組合部分是中學數學中的難點之一，原因在于

(1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型，需要較強的抽象思維能力；
(2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯詞和量詞)準確理解；
(3)計算手段簡單，與舊知識聯系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；
(4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力。

二、兩個基本計數原理及應用

(1)加法原理和分類計數法

1．加法原理

2．加法原理的集合形式

3．分類的要求

每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)

(2)乘法原理和分步計數法

1．乘法原理

2．合理分步的要求

任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同

[例題分析]排列組合思維方法選講

1．首先明確任務的意義

例1. 從1、2、3、……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有________個。

分析：首先要把復雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。

設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定，
又∵ 2b是偶數，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，因而本題為2=180。

例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法?

分析：對實際背景的分析可以逐層深入

（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。

（三）事實上，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。

從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數，
∴ 本題答案為：=56。

2．注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合

例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。

分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數，組合數的式子表示，因而采取分類的方法。

第一類：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類：A在第二壟，B有2種選擇；

第三類：A在第三壟，B有一種選擇，

同理A、B位置互換 ，共12種。

例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60

分析：顯然本題應分步解決。

（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法；

（二）從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。

（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法；

（四）由于選取與順序無關，因而（二）（三）中的選法重復一次，因而共240種。

例5．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數為_______。

分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有=90種。

例6．在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工。現從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法?

分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統一。

以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。

第一類：這兩個人都去當鉗工，有種；

第二類：這兩人有一個去當鉗工，有種；

第三類：這兩人都不去當鉗工，有種。

因而共有185種。

例7．現有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數?

分析：有同學認為只要把0，l，3，5，7，9的排法數乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。

抽出的三數含0，含9，有種方法；

抽出的三數含0不含9，有種方法；

抽出的三數含9不含0，有種方法；

抽出的三數不含9也不含0，有種方法。

又因為數字9可以當6用，因此共有2×(+)++=144種方法。

例8．停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。

分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。

3．特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮

例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數

分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。

第一類：乙在排頭，有種站法。

第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，有種站法，

共+種站法。

（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。

第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。

第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。

第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。

共+2+=312種。

例10．對某件產品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能?

分析：本題意指第五次測試的產品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次測試的有種可能；

第二步：前四次有一件正品有中可能。

第三步：前四次有種可能。
∴ 共有種可能。

4．捆綁與插空

例11. 8人排成一隊
(1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰
(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰

分析：（1）有種方法。

（2）有種方法。

（3）有種方法。

（4）有種方法。

（5）本題不能用插空法，不能連續進行插空。

用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共--+=23040種方法。

例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續命中，有多少種不同的情況?

分析：∵ 連續命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區別，不必計數。即在四發空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即。

例13. 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種?

分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。
∴ 共=20種方法。

4．間接計數法.(1)排除法

例14. 三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?

分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。

所求問題的方法數=任意三個點的組合數-共線三點的方法數，
∴ 共種。

例15．正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體?

分析：所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，
∴ 共-12=70-12=58個。

例16. l，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數的底數和真數，可組成多少個不同數值的對數?

分析：由于底數不能為1。

（1）當1選上時，1必為真數，∴ 有一種情況。

（2）當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數，真數，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.

因而一共有53個。

(3)補上一個階段，轉化為熟悉的問題

例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?

分析：（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數。因而有=360種。

（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數重復了種， ∴ 共=120種。

例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?

分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復了次。因而有=9×8×7×6=3024種。
若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。

例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?

分析：先認為三個紅球互不相同，共種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。

5．擋板的使用

例20．10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法?

分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當于一種分配方式。因而共36種。

6．注意排列組合的區別與聯系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序)可轉化為排列問題。

例21. 從0，l，2，……，9中取出2個偶數數字，3個奇數數字，可組成多少個無重復數字的五位數?

分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。

（一）兩個選出的偶數含0，則有種。

（二）兩個選出的偶數字不含0，則有種。

例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?

分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。

（二）選擇10層中的四層下樓有種。
∴ 共有種。

例23. 用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，

(1)可組成多少個不同的四位數?
(2)可組成多少個不同的四位偶數?
(3)可組成多少個能被3整除的四位數?
(4)將(1)中的四位數按從小到大的順序排成一數列，問第85項是什么?

分析：（1）有個。

（2）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。
∴ 共+種。

（3）先把四個相加能被3整除的四個數從小到大列舉出來，即先選
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5

它們排列出來的數一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96種。

（4）首位為1的有=60個。
前兩位為20的有=12個。
前兩位為21的有=12個。
因而第85項是前兩位為23的最小數，即為2301。

7．分組問題

例24. 6本不同的書

(1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？
(4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?
(5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?

分析：（1）有中。

（2）即在（1）的基礎上除去順序，有種。

（3）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。

（4）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。

（5）有種。

例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。

分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。

第一類：平均分成3人一組，有種方法。

第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。

（二）再考慮分別上兩輛不同的車。

綜合（一）（二），有種。

例26. 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有________種.

分析：（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。
其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。

（二）再考慮分配到四個不同的科技小組，有種，
由（一）（二）可知，共=240種。

　　　　排列組合問題的類型及解答策略
　　排列組合問題，聯系實際，生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。實踐證明，備考有效的方法是題型與解法歸類，識別模式，熟練運用。
　　一、相鄰問題捆綁法
　　例1 6名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（ ）種
　　A. 720 B. 360 C. 240 D. 120
　　解：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人進行全排列有種排法；甲、乙兩人之間有種排法。由分步計數原理可知，共有=240種不同排法，選C。
　　評注：從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是在解決對于某幾個元素相鄰的問題時，可整體考慮將相鄰元素視作一個“大”元素。
　　二、相離問題插空法
　　例2 要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不得相鄰，有多少不同的排法？（只要求寫出式子，不必計算）
　　解：先將6個歌唱節目排好，其不同的排法為種；這6個歌唱節目的空隙及兩端共7個位置中再排4個舞蹈節目，有種排法。由分步計數原理可知，任何兩個舞蹈節目不得相鄰的排法為種。
　　評注：從解題過程可以看出，不相鄰問題是要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開。此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。
　　三、定序問題縮倍法
　　例3 信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號。現有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數是__________（用數字作答）。
　　解：5面旗全排列有種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能算作一次的掛法，故共有不同的信號種數是=10（種）。
　　評法：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題。這類問題用縮小倍數的方法求解比較方便快捷。
　　四、標號排位問題分步法
　　例4 同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分配方式有（ ）
　　A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種
　　解：此題可以看成是將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，且每個方格的標號與所填數不同的填法問題。所以先將1填入2至4號的3個方格里有種填法；第二步把被填入方格的對應數字，填入其它3個方格，又有種填法；第三步將余下的兩個數字填入余下的兩格中，只有1種填法。故共有3×3×1=9種填法，而選B。
　　評注：把元素排在指定號碼的位置上稱為標號排位問題。求解這類問題可先把某個元素按規定排放，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成。
　　五、有序分配問題逐分法
　　例5 有甲、乙、丙三項任務，甲需由2人承擔，乙、丙各需由1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法共有（ ）種
　　A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
　　解：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下8人中選1人承擔乙項任務，最后從剩下7人中選1人承擔丙項任務。根據分步計數原理可知，不同的選法共有=2520種，故選C。
　　評注：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步下量分組法求解。
　　六、多元問題分類法
　　例6 由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有（ ）
　　A. 210個 B. 300個 C. 464個 D. 600個
　　解：按題意個位數只可能是0，1，2，3，4共5種情況，符合題意的分別有，個。合并總計，共有＋=300（個），故選B。
　　評注：元素多，取出的情況也多種，可按結果要求，分成互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。
　　另解：先排首位，不用0，有種方法；再同時排個位和十位，由于個位數字小于十位數字，即順序固定，故有種方法；最后排剩余三個位置，有種排法。故共有符合要求的六位數=300（個）。
　　七、交叉問題集合法
　　例7 從6名運動員中選出4名參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？
　　解：設全集U={6人中任取4人參賽的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根據求集合元素個數的公式可得參賽方法共有
　　=252（種）。
　　評注：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數的公式：來求解。
　　八、定位問題優限法
　　例8 計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（ ）
　　A. B. C. D.
　　解：先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，則油畫與國畫有種放法。再考慮油畫之間與國畫之間又可以各自全排列。故總的排列的方法為種，故選D。
　　評注：所謂“優限法”，即有限制條件的元素（或位置）在解題時優先考慮。
　　九、多排問題單排法
　　例9 兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學生入座（每人一座位），則不同的坐法種數為（ ）
　　A. B. C. D.
　　解：此題分兩排坐，實質上就是8個人坐在8個座位上，故有種坐法，所以選D。
　　評注：把元素排成幾排的問題，可歸結為一排考慮。
　　十、至少問題間接法
　　例10 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（ ）種
　　A. 140 B. 80 C. 70 D. 35
　　解析：在被取出的3臺中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合題意，故符合題意的取法有=70種，選C。
　　評注：含“至多”或“至少”的排列組合問題，通常用分類法。本題所用的解法是間接法，即排除法（總體去雜），適用于反面情況明確且易于計算的情況。
　　十一、選排問題先取后排法
　　例11 四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有_________種（用數字作答）。
　　解：先從四個小球中取兩個放在一起，種不同的取法；再把取出的兩個小球與另外兩個小球看作三堆，并分別放入四個盒子中的三個盒子中，有種不同的放法。依據分步計數原理，共有種不同的方法。
　　評注：這是一道排列組合的混合應用題目，這類問題的一般解法是先取（組合）后排（排列）。本題正確求解的關鍵是把四個小球中的兩個視為一個整體，如果考慮不周，就會出現重復和遺漏的錯誤。
　　十二、部分符合條件淘汰法
　　例12 四面體的頂點及各棱中點共有10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）
　　A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種
　　解：10個點中取4個點共有種取法，其中同一側面內的6個點中任取4個點必共面，這樣的面共有4個；又同一條棱上的3個點與對棱的中點也四點共面，共有6個面；再各棱中點共6個點中，取四點共面的平面有3個。故符合條件4個點不共面的取法共有=141（種），故選D。
　　評注：在選取總數中，只有一部分符合條件，可從總數中減去不符合條件的個數，即為所求。
　　應該指出的是，上述所介紹的適用不同要求的各種方法并不是絕對的，對于同一問題有時會有多種方法，這時要認真思考和分析，靈活選取最佳方法。

把4個男同志和4個女同志均分成4組,到4兩公共汽車里參加售票勞動,如果同樣兩人在不同汽車上服務為不同情況.
(1)有幾種分配方法
(2)每個小組必須是一男一女,有幾種不同方法
(3)男女分別分組,有幾種不同的分配方法

(1)
4個男同志和4個女同志均分成4組,到4兩公共汽車里參加售票勞動,如果同樣兩人在不同汽車上服務,有
C(8,2)C(6,2)C(4,2)C(2,2)P(4,4)=20160種分配方法

(2)
每個小組必須是一男一女,有
C(4,1)C(4,1)C(3,1)C(3,1)C(2,1)C(2,1)C(1,1)C(1,1)P(4,4)=13824種分配方法

(3)
男女分別分組,有
C(4,2)C(2,2)C(4,2)C(2,2)P(4,4)=864種分配方法

1.開門見山直接回答知識點
2.對相關知識點進行延伸
3.規范排版，內容充實更容易通過認證哦
4.補充參考資料（沒有可以忽略哦~）

設C(m,n)是m個數中取n個數的組合，P(m,n)是m個數中取n個數的排列。
(1)把8個人放到4個組中，第1個人有4種選擇，第2個人有4種選擇，第3個人有3種選擇，第4個人有3種選擇……，8個人分成4組有4·4·3·3·2·2·1·1=576。4個組分配到4個汽車中是一個全排列，因為第1組選擇一輛車有4種選擇，第2組有3種選擇，……，共有P(4,4)種。最終結果為576·P(4,4)=13824
(2)男女搭配方法共有P(4,4)種（這和4個汽車與4個組搭配同理），搭配后分配到公共汽車有P(4,4)種，結果為P(4,4)·P(4,4)=576
(3)4個人分為兩兩一組有C(4,2)種，結果為[C(4,2)+C(4,2)]·P(4,4)=288

(1)[(8*7*6*5*4)/(4*3*2*1)]*4=1120 在4＋4＝8個人中任選兩個，是一個組合問題
(2)4^3＝64
(3)2*[(4*3)/(2*1)]*4=48

30
排列組合
5*c4/2

我得17， C51+C21*C42=17
首先，學生甲必須與教師a在一組，就需要在學生里面再選一個人C51，然后選第2組，需要在剩下的4名學生里選2名，2名教師里選1名，余下的自然是第三組了~