用數學歸納法證明：1+1/√2+1/√3+…+1/√n小于2√n
證明：（1）當n=1時，左側=1 ，右側=2 1<2 不等式成立 （2）假設n=k時，不等式成立 ，既 1+1/根號2+1/根號3+。。。+1/根號k<2根號k 則n=k+1時，1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k+1/根號k+1 < 2根號k + 1/根號k+1 2根號k + 1/根號k+1 -2根號k+2 =2(根號k-根號k+1)+1/根號k+1 = -2/（根號k+1 + 根號k）+1/根號k+1 通分得 （根號k - 根號k+1）/根號k+1(根號k+1 + 根號k) <0 (2根號k + 1/根號k+1 ) < 2根號k+2 所以原不等式成立 由（1）（2）可知對任意自然數n ,原不等式均成立。
1.當n=1時 左=1 右=2 顯然1＜2 成立 2.設n=k時成立 右1+1/√2+1/√3+…+1/√k＜2√k 則n=k+1時 左=1+1/√2+1/√3+…+1/√n+1/√（k+1） ＜2√k+1/√（k+1）=2√（k+k）/√（k+1） ＜2√（k+2k+1）/√（k+1） =2√（k+1） 故n=k+1時成立 由1.2可得原式成立
用數學歸納法證明：1+1/根號2+1/根號3+....+1/根號<2根號n 求詳解
令n=k時，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k；
當n=k+1時，上式左邊=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右邊=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
則上式右邊=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。
擴展資料：
數學歸納法的原理：
遞推的基礎：證明當n=1時表達式成立。
遞推的依據：證明如果當n=m時成立，那么當n=m+1時同樣成立。
這種方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那么任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。
參考資料來源：百度百科-數學歸納法
當n=1時，左邊=1<2=右邊，不等式成立；
假設當n=k時不等式成立，
即1+1/√2+1/√3+....+1/√k<2√k （1）
下證當n=k+1時也成立
（1）兩邊同時加1/√(k+1)得：
左邊=1+1/√2+1/√3+....+1/√k+1/√(k+1)<2√k+[1/√(k+1)]=[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1) （2）
下面證明：2√k*√(k+1)+1<2(k+1)
即證：2√k*√(k+1)<2k+1
兩邊平方，即證：4k(k+1)<4k²+4k+1，此式顯然成立，
因此2√k*√(k+1)+1<2(k+1)
對于（2）
左邊<[2√k*√(k+1)+1]/√(k+1)<2(k+1)/√(k+1)=2√(k+1)=右邊
因此當n=k+1時，不等式成立，證畢。
n=1時 左邊=1 右邊=2 成立
假設n=k時成立
即1+1/√2+1/√3+.....+1/√k<2√k
那么n=k+1時
左邊=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)
<2√k +1/√(k+1)
=2√k + 2/ 2√(k+1)
<2√k +2/[√(k+1) +√k]
=2√k +2√(k+1) -2√k
=2√(k+1)
即n=k+1時也成立
所以對一切 n∈N*，均有1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n
證明：當n=1時，1＜2成立。 假設當n=k，1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k＜2根號k 成立；則當n=k+1時，1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k+1/根號(k+1）＜2根號k+1/根號(k+1)通分2√k+1/√(k+1)=(2√k√(k+1)+1)/√k+1,∵2√k√(k+1)+1＜k+k+1+1（此處運用均值不等式因為k不可能等于k+1，所以等號不成立）.而2√(k+1)=2√(k+1)^2/√(k+1),2√(k+1)^2=k+k+1+1(因為k+1=k+1，所以取等），∴2√k√(k+1)+1＜2√(k+1)^2∴2√k+1/√(k+1)＜2√(k+1)∴當n=k+1時，1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號k+1/根號(k+1）＜2根號(k+1)成立∴對于任何n∈N+ 此不等式均成立。
n=1時 1<2√1=2成立
若當n=k時，1+1/√2+...+1/√k<2√k成立
則當n=k+1時，1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
因為2√(k+1)-2√k
=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)
=2/(√(k+1)+√k)
>2/(2√(k+1))
=1/√(k+1)
所以2√(k+1)>2√k+1/√(k+1)>1+1/√2+...+1/√(k+1)，得證
化簡 根號下n(n+1)(n+2)(n+3)
如題錯了吧
應該是根號下[n(n+1)(n+2)(n+3)+1]
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n^2+3n)[(n^2+3n)+2]+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
所以根號下[n(n+1)(n+2)(n+3)+1]
=絕對值(n^2+3n+1)
若n^2+3n+1<0
即(-3-√5)/2<n<(-3+√5)/2
則原式=-(n^2+3n+1)=-n^2-3n-1
若n^2+3n+1≥0
即n≤(-3-√5)/2,n≥(-3+√5)/2
則原式=n^2+3n+1
N*(N+1)*(N+2)*(N+3)+1
=N*(N+3)*(N+1)*(N+2)+1
=(N^2+3N)*(N^2+3N+2)+1
=(N^2+3N)^2+2(N2+3N)+1
=(N^2+3N+1)^2
當n^2+3n+1 〉0
根號下n(n+1)(n+2)(n+3)=n^2+3n+1
當小于0時候為 -（n^2+3n+1）
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