高中數(shù)學(xué)歸納法：根號(hào)下1*2+根號(hào)下2*3+……+根號(hào)下n*(n+1)＞n（n+1）/2 急求！！！
思路：先看不等式右邊是n（n+1）/2，很明顯這是自然數(shù)的和，
即：1+2+3+……+n (總共有n項(xiàng)）
而；左式：根號(hào)下1*2+根號(hào)下2*3+……+根號(hào)下n*(n+1) （也總共有n項(xiàng)）
數(shù)學(xué)歸納法：
先一項(xiàng)一項(xiàng)比較，然后左右兩邊同時(shí)相加
第一項(xiàng)：左邊：根號(hào)下1*2>1 右邊
第二項(xiàng)：左邊：根號(hào)下2*3>2 右邊（注：2=根號(hào)下2*2，明顯比左邊小）
。。。。。。
類推
第n項(xiàng)：左邊：根號(hào)下n*(n+1)>n 右邊（注：n=根號(hào)下n*n,比作變小）
以上，左邊與左邊右邊與右邊同時(shí)相加：
即得證：
根號(hào)下1*2+根號(hào)下2*3+……+根號(hào)下n*(n+1)＞n（n+1）/2
an=根號(hào)下1*2+根號(hào)下2*3+……+根號(hào)下n*(n+1) 求證 n(n+1)/2<an<(n+1)^2/2
根號(hào)下n*(n+1) >n
所以an>1+2+……+n=n(n+1)/2
根號(hào)下n*(n+1)<n+1/2
an<3/2+5/2+......+n+1/2=(n^2+2n)/2<(n+1)^2/2
∵n*2<n*(n+1)<(n+1)*2
∴1+2+3+....+n<an<2+3+4+5...+n+1
即 n(n+1)/2<an<(n+1)^2/2
設(shè)an=g根號(hào)1*2+根號(hào)2*3+…+根號(hào)n*(n+1),證明：1/2*n(n+1)
an=根號(hào)1*2+根號(hào)2*3+…+根號(hào)n*(n+1)
>根號(hào)1*1+根號(hào)2*2+…+根號(hào)n*n
=1+2+3+...+n
=1/2*n*(n+1);
所以1/2*n(n+1)
若An=根號(hào)下1*2+根號(hào)下2*3+……+根號(hào)下n*(n+1)（n=1,2,3……）
證明：n*(n+1)/2若an=√(1*2)+√(2*3)+...+√[n(n+1)]（n=1,2,3……）
證明：n(n+1)/2＜an＜(n+1)^/2
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=√2，顯然有1＜√2＜2
，結(jié)論成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k-1(k≥2)時(shí)，結(jié)論成立，即：(k-1)k/2＜a(k-1)＜k^/2
ak-(k+1)^/2
=a(k-1)+√[k(k+1)]-(k+1)^/2
＜k^/2+√[k(k+1)]-(k+1)^/2
=√[k(k+1)]-[(k+1)^-k^]/2
=√[k^+k]-[2k+1]/2
=√[(k+1/2)^-1/4]-[k+1/2]＜0------>ak＜(k+1)^/2
ak-k(k+1)/2
=a(k-1)+√[k(k+1)]-k(k+1)/2
＞(k-1)k/2+√[k(k+1)]-k(k+1)/2
=√[k(k+1)]-[k(k+1)-k(k-1)]/2
=√[k^+k]-[2k]/2
=√[k^+k]-k＞0-------------------->ak＞k(k+1)/2
所以，當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論也成立
綜合（1）（2），對任意正整數(shù)n，結(jié)論都成立。（證畢）
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