用拉格朗日中值定理證明:(b-a)/(1+b^2)<arctanb-arctana<(b-a)/(1+a^2) (0<a<b)
設函數f(x)=arctanx
則f '(x)=1/(1+x^2) 可以推出在(a,b)區間上,任意的x,1/(1+b^2)<f '(x)<1/(1+a^2)
由于f(x)函數在[a,b]連續,在(a,b)可導,由拉格朗日中值定理,可得:
存在一點m屬于(a,b),使得:f '(m)=(arctanb-arctana)/(b-a)
則1/(1+b^2)<(arctanb-arctana)/(b-a)<1/(1+a^2)
即:(b-a)/(1+b^2)<arctanb-arctana<(b-a)/(1+a^2) (0<a<b)
應用拉格朗日中值定理證明不等式:當0<b<=a時,(a-b)/a<=lna/b<=(a-b)/b
令f(x)=lnx,當b<=§<=a時,1/a<=1/§<=1/b.應用拉格朗日定理,f(a)-f(b)=f'(§)(a-b)所以就有:(a-b)/a<=lna/b<=(a-b)/b.
函數f(x)=lnx b≤x≤a lna-lnb=(a-b)/ζ 其中ζ為某個數, b≤ζ≤a, 有(a-b)/a≤(a-b)/ζ≤(a-b)/b
用拉格朗日中值定理證明下列不等式 a>b>0,(a-b)/a
在區間[b.a],f(x)=lnx滿足定理條件. 知f'(x)=1/x. 用定理,知存在c: b 使:lna-lnb=(1/c)*(a-b) 即ln(a/b)=(a-b)/c 注意到條件:0 有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b. 即有::(a-b)/a 作業幫用戶 2017-11-02 舉報
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