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用拉格朗日中值定理證明下列不等式

首頁 > 醫(yī)療糾紛2022-03-06 12:50:14

利用拉格朗日中值定理證明下列不等式

利用拉格朗日中值定理證明下列不等式求具體步驟

根據(jù)拉格朗日中值定理,有

利用拉格朗日中值定理證明下列不等式 (b-a)/b≤ln(b/a)≤(b-a)/a(0<a<b

ln(b/a)=lnb-lna=int(from a to b) 1/x dx
0<a<b => 1/b<1/x<1/a if a<x<b

用拉格朗日中值定理證明下列不等式a>b>0,(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b

在區(qū)間[b.a],f(x)=lnx滿足定理條件.
知f'(x)=1/x.
用定理,知存在c:b<c<a
使:lna-lnb=(1/c)*(a-b)
即ln(a/b)=(a-b)/c
注意到條件:0<b<c<a,
有:(a-b)/a<(a-b)/c<(a-b)/b.
即有::(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b.

利用拉格朗日中值定理證明下列不等式:

利用拉格朗日中值定理證明下列不等式:要步驟,謝謝!

設(shè)f(x)=lnx,則f'(x)=1/x
∵0<a<b
∴f(x)在[a,b]上連續(xù),
在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),
即滿足拉格朗日中值定理的所有條件。

∴存在ξ∈(a,b),使得
f'(ξ)=1/ξ=[f(b)-f(a)]/(b-a)

∵0<a<ξ<b
∴1/b<1/ξ<1/a
∴1/b<[f(b)-f(a)]/(b-a)<1/a
∴(b-a)/b<f(b)-f(a)<(b-a)/a

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