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利用拉格朗日中值定理證明下列不等式 (b-a)/b≤ln(b/a)≤(b-a)/a(0<a<b

首頁 > 醫(yī)療糾紛2022-05-14 05:53:56

利用拉格朗日中值定理證明不等式

我數(shù)學(xué)分析書不在身邊,謝謝啦
1、對于任意的x>0,取函數(shù)f(t)=arctant,t∈[0,x].

f(x)-f(0)=f'(ξ)×x,ξ∈(0,x).

即arctanx=x/(1+ξ^2).

1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1,所以,x/(1+x^2)<arctanx<x.

2、取函數(shù)f(x)=lnx,x∈[a,b]

f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a).

f'(ξ)=1/ξ∈(1/b,1/a),所以,(b-a)/b<lnb-lna<(b-a)/a,即

(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a

3、設(shè)f(x)=arctanx+arccotx,x∈(-∞,+∞).

f'(x)≡0,所以f(x)≡C(常數(shù)).

又f(0)=π/2,所以C=π/2.

所以,arctanx+arccotx=π/2.

用拉格朗日中值定理證明下列不等式

 

用拉格朗日中值定理證明不等式(b-a)/b<㏑b/a<(b-a)/a

如果a<0,b<0,用-a,-b代替。
如果a>b,可以交換a和b的地位,要證的不等式和a<b的情形形式一樣。
下面只討論a<b的情形。

(ln x)' = 1/x
由中值定理,存在a<c<b使得
lnb - ln a = (b-a) * (ln c)' = (b-a)/c
由于a<c<b,所以1/b < 1/c < 1/a,代入上式,得
(b-a)/b < lnb - lna < (b-a)/a,證畢

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