利用拉格朗日中值定理證明不等式
我數(shù)學(xué)分析書不在身邊,謝謝啦1、對于任意的x>0,取函數(shù)f(t)=arctant,t∈[0,x].
f(x)-f(0)=f'(ξ)×x,ξ∈(0,x).
即arctanx=x/(1+ξ^2).
1/(1+x^2)<1/(1+ξ^2)<1,所以,x/(1+x^2)<arctanx<x.
2、取函數(shù)f(x)=lnx,x∈[a,b]
f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a).
f'(ξ)=1/ξ∈(1/b,1/a),所以,(b-a)/b<lnb-lna<(b-a)/a,即
(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a
3、設(shè)f(x)=arctanx+arccotx,x∈(-∞,+∞).
f'(x)≡0,所以f(x)≡C(常數(shù)).
又f(0)=π/2,所以C=π/2.
所以,arctanx+arccotx=π/2.
用拉格朗日中值定理證明下列不等式
用拉格朗日中值定理證明不等式(b-a)/b<㏑b/a<(b-a)/a
如果a<0,b<0,用-a,-b代替。
如果a>b,可以交換a和b的地位,要證的不等式和a<b的情形形式一樣。
下面只討論a<b的情形。
(ln x)' = 1/x
由中值定理,存在a<c<b使得
lnb - ln a = (b-a) * (ln c)' = (b-a)/c
由于a<c<b,所以1/b < 1/c < 1/a,代入上式,得
(b-a)/b < lnb - lna < (b-a)/a,證畢
相關(guān)推薦:
什么叫不安抗辯權(quán)(什么叫不安抗辯權(quán))
遭受家庭暴力能離婚嗎(發(fā)生家庭暴力 夫妻可以離婚嗎)
逾期舉證賠償(當(dāng)事人逾期提供證據(jù)法院怎樣處理)
火災(zāi)賠償申請(店鋪失火后如何申請賠償)
立案己受理了(已立案是什么意思)