對欠款人死亡所遺留下來的欠款，應由其法定繼承人在遺產繼承范圍內償還。繼承人償還之后，如果仍有剩余遺產，剩余遺產由繼承人繼續繼承。

如果全部遺產不足清償債務，在用遺產償還之后，對剩下的債務，繼承人沒有代替償還的義務，繼承人可選擇不予歸還，那么這筆債務等于自然消亡。

根據《中華人民共和國繼承法》：

第三十三條，繼承遺產應當清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務，繳納稅款和清償債務以他的遺產實際價值為限。超過遺產實際價值部分，繼承人自愿償還的不在此限。

繼承人放棄繼承的，對被繼承人依法應當繳納的稅款和債務可以不負償還責任。可以起訴債務人的繼承人，要求用債務人遺產清償債務。

《最高人民法院關于貫徹執行<中華人民共和國繼承法>若干問題的意見》第六十二條規定：

遺產已被分割而未清償債務時，如有法定繼承又有遺囑繼承和遺贈的，首先由法定繼承人用其所得遺產清償債務;不足清償時，剩余的債務由遺囑繼承人和受遺贈人按比例用所得遺產償還;如果只有遺囑繼承和遺贈的，由遺囑繼承人和受遺贈人按比例用所得遺產償還。

擴展資料：

如果死者留下的遺產無人繼承，也無人接受遺贈，這些遺產應歸國家或集體組織、有關單位所有。那么，死者的債務也就由接受遺產的國家、集體組織或者有關單位在遺產的實際價值范圍內清償。

對于死者生前應當繳納的稅款而沒有繳納的，和清償一般債務一樣，以死者遺產實際價值為限。以全部遺產折價繳納稅款后，仍欠稅款，繼承人若自愿代繳，盡管其沒有這個義務，也不應禁止。

對債務人有效資產的查找，應當貫穿于整個授信過程中，包括授信前、授信中、逾期后的非訴訟催收、訴前準備、訴訟中、執行中等授信和風險管理的全過程。

繼承遺產應當清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務，繳納稅款和清償債務以他的遺產實際價值為限。繼承人放棄繼承的，對被繼承人依法應當繳納的稅款和債務可以不負償還責任。

因此，繼承人清償被繼承人債務以繼承人繼承了被繼承人的遺產為前提：如果繼承人沒有繼承遺產，其對被繼承人生前所負債務沒有清償義務。

如果繼承人繼承了遺產，則應當清償被繼承人生前所負債務，但其對債務的清償以遺產的實際價值為限，對超過遺產實際價值部分，繼承人可以不負清償責任。

參考資料來源：百度百科-《中華人民共和國繼承法》

借款人死亡的，出借人可以起訴其繼承人，因為債務人死亡，其債務應當由繼承人在繼承的遺產范圍內償還，但是超出遺產范圍的債務，繼承人不需要償還，如果繼承人放棄繼承的，則也不需要對被繼承人的債務承擔償還責任。

《民法典》
第一千一百六十一條

繼承人以所得遺產實際價值為限清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務。超過遺產實際價值部分，繼承人自愿償還的不在此限。

繼承人放棄繼承的，對被繼承人依法應當繳納的稅款和債務可以不負清償責任。



《民法典》
第一千一百五十九條

分割遺產，應當清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務；
但是，應當為缺乏勞動能力又沒有生活來源的繼承人保留必要的遺產。